Eplucher les pommes de terre. Les faire cuire dans de l'eau bouillante 10 min. Nettoyer les bettes. Eplucher le poireau et le couper en 2 dans le sens de la longueur. Tailler les 3 légumes en fines lamelles. Dans une grande poêle, faire chauffer de l'huile d'olive. Y faire cuire les bettes et le poireau 20 minutes environ en remuant régulièrement. Laver et ciseler le basilic, enlever les petites pousses de thym, et les ajouter aux bettes et au poireau. Préchauffer le four à 180°. Vider l'eau de cuisson des pommes de terre, découper la buche de chèvre et couper les tomates séchées en petits morceaux. Ajouter les morceaux de tomates séchées aux bettes et au poireau pour les 5 dernières minutes de cuisson.
Beurrer le fond d'un moule à gratin et faire une couche de pommes de terre, une couche de légumes, une couche de chèvre et recouvrez d'une couche de pommes de terre. Dans un saladier, battre au fouet les œufs, la crème et le lait. Saler, poivrer puis verser le mélange de façon à recouvrir l'ensemble du plat. Enfourner pendant 30 minutes. Servir chaud. Bon appétit.